Question

已知圆M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A，B两点
（1）求四边形QAMB的面积的最小值
（2）若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB及直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）利用QA、QB分别切圆M于A，B两点，推出四边形QAMB的面积的表达式，通过图象可知MQ≥MO，然后求出最小值
（2）利用点Q的坐标为（1，0），设出切线QA、QB的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出切线方程，求出B的坐标，利用AB与MQ垂直推出AB的斜率，然后求出直线AB的方程．

解答：解：（1）圆M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A，B两点
∴MA⊥AQ，MA=1．
∴S_QAMB=2S_△AQB=MA•QA=QA=

MQ2-MA2

=

MQ2-1

≥

MO2-1

=

3

．
（2）点Q的坐标为（1，0），
设过点Q的圆的切线方程为x=my+1，
则圆心M到切线x-my-1=0的距离为1．∴

|2m+1|

1+(-m)2

=1
即

|2m+1|

m2+1

=1解得m=0或-

4

3

．
∴切线QA、QB的方程分别为3x+4y-1=0和x=1．
切点B（1，2），∵AB⊥MQ，
所以K_AB=-

1

KMQ

=-

1-0

0-2

=

1

2

．
所以AB的方程为：y-2=

1

2

（x-1）．
即x-2y+3=0．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，几何图形的面积的求法，切线方程与直线方程的求法，考查计算能力，转化思想．