题目内容
已知数列{an}满足如图所示的程序框图.
(1)写出数列{an}的一个递推公式；
(2)证明：{an＋
1－3an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(3)求数列{n(an＋3n－1)}的前n项和Tn.
(1)由程序框图可知，a1＝a2＝1，an＋2＝5an＋1－6an.
(2)由an＋2－3an＋1＝2(an＋1－3an)，且a2－3a1＝－2可知，数列{an＋1－3an}是以－2为首项，2为公比的等比数列，可得an＋1－3an＝－2n，即
＝
－
，
∵－1＝
(
－1)，又
－1＝－，
∴数列{－1}是以－为首项，为公比的等比数列，∴－1＝－()n－1，
∴an＝2n－3n－1(n∈N＋).
(3)∵n(an＋3n－1)＝n·2n，
∴Tn＝1·2＋2·22＋…＋n·2n ①，
2Tn＝1·22＋2·23＋…＋n·2n＋1 ②，
两式相减得Tn＝(－2－22－…－2n)＋n·2n＋1
＝－
＋n·2n＋1＝2－2n＋1＋n·2n＋1
＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋).
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