Question

已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且它们的定义域都为（-1，1），又f(x)+g(x)=

1

x+1

．
（1）求f（x）和g（x）的表达式；
（2）判断g（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，列出方程组，直接求f（x）和g（x）的解析式；
（2）利用单调性的定义可先判断函数h（x）=x-

1

x

在（0，1）上的单调性，根据奇函数的对称性可求函数g（x）在（-1，0）上的单调性，进而可求g（x）的单调性

解答：解：（1）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）
又∵f(x)+g(x)=

1

x+1

①
∴f（-x）+g（-x）=

1

1-x

即f（x）-g（x）=

1

1-x

②
①②联立可得f（x）=

1

1-x2

，g（x）=

x

x2-1

（2）g（x）在（-1，1）单调递减，证明如下：
∵g（x）=

x

x2-1

=

1

x- 1 x

，
令h（x）=x-

1

x

，设0＜x₁＜x₂＜1
则h（x₁）-h（x₂）=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=（x₁-x₂）+（

1

x2

-

1

x1

）=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0
∴(x1-x2)(1+

1

x1x2

)＜0即h（x₁）＜h（x₂）
∴h（x）在（0，1）上单调递增h（x）＜0，g（x）＜0
根据奇函数的对称性可知h（x）在（-1，0）上单调递增h（x）＞0，g（x）＞0
∵g（0）=0
∴g（x）在（-1，1）单调递减

点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的对数的应用，单调区间的求法，考查计算能力．