Question

（文）已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两根，且a₁=1．
（1）求数列和{b_n}的通项公式；  
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，可利用根与系数的关系得出a_n+a_n+1=2ⁿ，法一：观察发现，由此方程可以得出数列是首项为，公比为-1的等比数列，由此数列的性质求出它的通项，再求出a_n，
法二：a_n+a_n+1=2ⁿ，两边同除以（-1）ⁿ⁺¹，得，令，则c_n+1-c_n=-（-2）ⁿ．得到新数列的递推公式，再由累加法求出c_n，即可求出a_n，
（2）由（1）的结论，先求出数列{a_n}的前n项和，代入b_n-λS_n＞0，此不等式对任意n∈N^*都成立，可用分离常数法的技巧，将不等式变为对任意正偶数n都成立，求出的最小值即可得到参数的取值范围，若此范围是空集则说明不存在，否则，存在
解答：解：（1）∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两根，
∴
求数列{a_n}的通项公式，给出如下二种解法：
解法1：由a_n+a_n+1=2ⁿ，得，
故数列是首项为，公比为-1的等比数列．
∴，即．
解法2：由a_n+a_n+1=2ⁿ，两边同除以（-1）ⁿ⁺¹，得，
令，则c_n+1-c_n=-（-2）ⁿ．
故c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1）=-1-（-2）-（-2）²-（-2）³-…-（-2）^n-1==（n≥2）．
且也适合上式，∴=，即．
∴b_n=a_na_n+1=×=
（2）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n==．
要使b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，
即（*）对任意n∈N^*都成立．
1当n2为正奇数时，由（*）式得34，
即，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴对任意正奇数n都成立．
当且仅当n=1时，有最小值1．
∴λ＜1．
②当n为正偶数时，由（*）式得，
即，
∵2ⁿ-1＞0，∴对任意正偶数n都成立．
当且仅当n=2时，有最小值．
∴λ＜．
综上所述，存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，λ的取值范围是（-∞，1）．
点评：本是考查数列与不等式的综合，此类题一般难度较大，解题的关键是熟练掌握不等式证明的技巧与数列通项求和的技巧，本题中用构造法求数列的通项，是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法，对于不等式恒成立求参数的问题，本题采用了分离常数法的思想将参数独立出来，通过求关于n的代数式的最小值求出参数的取值范围，本题考查了转化化归的思想，方程的思想，构造法的技巧，综合性强，技巧性强，题后应注意总结本题解法上的规律