Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，且∠BAD=120°，侧棱PA⊥底面ABCD，E，F分别是侧棱PB，PD中点．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面AEF；
（Ⅱ）若平面ABCD与平面AEF所成的二面角为60°，求PA的长．

Answer 1

分析：（I）先证线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直，然后由线面垂直证面面垂直即可；
（II）建立空间直角坐标系，设P点的坐标，求出平面AEF与平面ABCD的法向量，再根据向量坐标运算公式求解即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵E，F分别是侧棱PB，PD的中点，∴EF∥BD，
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，又EF∥BD
∴EF⊥平面PAC，
∴平面PAC⊥平面AEF．
（Ⅱ）以A为原点，AD所在直线为y轴，过A垂直AD的直线为x轴建立如图空间直角坐标系，设P（0，0，m），
则A（0，0，0），B(

3

，-1，0)，C(

3

，1，0)，D(0，2，0)，E(

3

2

，-

1

2

，

m

2

)，F(0，1，

m

2

)
平面ABCD的法向量

n1

=（0，0，1）
设平面AEF法向量

n2

=（x，y，z），
则可求得：

n2

=(-

3

2

m，-

m

2

，1)
由

n1

•

n2

=|

n1

|•|

n2

|cos60°得：m=

3

，即PA=

3

，

点评：本题考查面面垂直的判定及向量法求二面角．