Question

（本小题满分12分）

   如右图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，圆O的直径为9。

   （1）求证：平面ABCD平在ADE；

   （2）求二面角D—BC—E的平面角的正切值；

                                

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）二面角D—BC—E的平面角的正切值为

【解析】（1）证明：垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面上，

   

    在正方形ABCD中，CDAD

   

    平面ADE

    平面ABCD

    平面ABCD平面ADE…………4分

   （2）解法一：平面ADE，平面ADE，

   

    CE为圆O的直径，即CE=9…………6分

    设正方形ABCD的边长为

    在中，

    在中，

    由，解得

    …………8分

    过点E作EFAD于点F，作FGBC交BC于点G，连结GE

    平面ABCD平面ADE

    平面ABCD

    又平面ABCD，

   

    平面EFG

    平面EFG，

    是二面角D—BC—E的平面角…………10分

    在中，

   

   

    在

   

    故二面角D—BC—E的平面角的正切值为…………12分

    解法2：平面ADE，平面ADE

   

    CE为圆O的直径，即CE=9…………6分

    设正方形ABCD的边长为

    在中，

    在中，

    由，解得

    …………8分

    以D为坐标原点，分中辊以ED、CD所在的直线为轴，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），E（-6，0，0），C（0，，0），A（-6，0，3），B（-6，，3）

    设平面ABCD的法向量为

    则

    取，则是平面ABCD的一个法向量

    设平面BCE的法向量为

    则

    取是平面ABCD的一个法向量

   

   

    …………11分

    故二面角D—BC—E的平面角的正切值为…………12分