Question

直线y=x+k与抛物线y²=2x相交于点A、B，且OA⊥OB，则k=

-2

．

Answer 1

分析：联立直线和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出两个交点A，B的横纵坐标的乘积，再由OA⊥OB代入坐标，联立后即可求得k的值．

解答：解：直线方程代入抛物线方程整理得：
x²+（2k-2）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=2-2k，x1x2=k2
y1y2=x1x2+k(x1+x2)+k2=2k²+2k-2k²=2k
∵OA⊥OB
∴OA²+OB²=AB²
即x12+x22+y12+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2
∴x₁x₂+y₁y₂=0
则k²+2k=0
∴k=-2（0舍去）
故答案为-2．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，解答此类问题的常用方法是借助于一元二次方程的根与系数关系，然后结合已知条件列式求解，是中档题．