Question

（03年北京卷文）（14分）

设是定义在区间上的函数，且满足条件：

   （i）

   （ii）对任意的

   （Ⅰ）证明：对任意的

   （Ⅱ）判断函数是否满足题设条件；

   （Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数，且使得对任意的

           

若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当时，有

即

（Ⅱ）答：函数满足题设条件.验证如下：

对任意的，

当

当

当不妨设 

有

所以，函数满足题设条件.

（Ⅲ）答：这样满足的函数不存在.理由如下：

     假设存在函数满足条件，则由得①

   由于对任意的，都有

   所以，②  ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.