Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=a_n+1-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式．（2）设…+b_n，求证：＜1

Answer 1

【答案】分析：（1）利用递推关系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁，可求通项a_n
（2）结合（1）可得，然后利用裂项求和求T_n即可证明．
解答：解：（1）∵a_n+1-S_n-1=0①∴n≥2时，a_n-S_n-1-1=0②
①-②得：（
由a_n+1-2S_n-1=0及a₁=1得a₂-S₁-1=0⇒a₂=S₁+1=a₁+1=2∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1

（2）∵
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n===
∵0＜＜1，
所以＜1
点评：本题主要考查了利用结论：s_n=a₁+a₂+…+a_n，s_n-1=a₁+a+…+a_n-1（n≥2）是求解本题的关键，是进行数列“项”与“和”之间的转化常用的公式，但要注意对n=1的检验．