Question

在数列{a_n}中，．
（Ⅰ）设，证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知a_n+1=3a_n+3ⁿ得：
b_n+1=
=
=+1
=b_n+1，
又b₁=a₁=1，因此{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列…（6分）
（Ⅱ）由（1）得=n，
∴=3^n-1，…（8分）
∴S_n=1+3¹+3²+…+3^n-1==…（12分）
分析：（Ⅰ）依题意可求得b_n+1=b_n+1，由等差数列的定义即可得证数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）可求得=3^n-1，利用等比数列的求和公式即可求得数列的前n项和S_n．
点评：本题考查等差数列的证明，考查等比数列的求和，考查推理与运算能力，属于中档题．