Question

直线y=1-x交抛物线y²=2px（p＞0）于M，N两点，向量与弦MN交于点E，若E点的横坐标为，则p的值为

1. A.
   2
2. B.
   1
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由?x²-（2+2p）x+1=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），x₁，x₂是方程x²-（2+2p）x+1=0的两根，由=（x₁+x₂，y₁+y₂），E点的横坐标为可求得，利用韦达定理即可求得p的值．
解答：∵直线y=1-x交抛物线y²=2px（p＞0）于M，N两点，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由得x²-（2+2p）x+1=0，则x₁，x₂是方程x²-（2+2p）x+1=0的两根，
由韦达定理得：x₁+x₂=2+2p①；
又∵向量与弦MN交于点E，
∴，而=（x₁+x₂，y₁+y₂），E点的横坐标为，
∴，即x₁+x₂=3②
由①②得：2+2p=3，解得p=．
故选D．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决的关键在于联立方程，利用韦达定理，与条件“向量与弦MN交于点E，若E点的横坐标为”结合来解决问题，属于难题．