Question

已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，且A₁A与底面相邻两边AB，AC所成的角都是45°.

（1）求证：A₁A⊥BC；

（2）求A₁A与底面ABC所成角的大小；

（3）若点A₁到平面BC₁的距离等于斜三棱柱的高的，求四棱锥A—BB₁C₁C的体积.

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）证明：过点A1作A1O⊥平面ABC于O，过O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F， 连结AO并延长交BC于D，连结A1E，A1F，则有A1E⊥AB，A1F⊥AC. 在Rt△A1EA和Rt△A1FA中，，又A1A为公共边， ≌  在Rt△AEO和Rt△AFO中， AE=AF，AO为公共边， ≌ 即AD为的平分线. 为正三角形，   平面ABC， 平面ABC，    （2）解：由（1）知AO为A1A在平面ABC上的射影， 为A1A与平面ABC所成的角. 设， . 在  与平面ABC所成的角为    （3）解：过A1作A1M⊥BB1于M，A1N⊥CC1于N，连结MN，取B1C1的中点为D1， 连结DD1交MN于H，则有Rt△A1MB1≌Rt△A1NC1，A1M=A1N. 　　    由（1）知BC⊥AA1.  　　　　 ∴平面四边形BB1C1C为矩形. 　　       　　    又，∴平面A1MN⊥平面B1C.  又H为MN的中点， 　　     为点A1到平面B1C的距离. 　　    易求 　　    则.