Question

已知函数y=f（x）=

ax2+1

bx+c

（a＞0，b＞0，c∈R）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其中b∈{N^*}且
f（1）＜

5

2

，试求函数f（x）的解析式并指出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：先根据函数为奇函数即f（-x）=-f（x）求得c=0，进而把函数解析式整理成

a

b

x+

1

bx

根据均值不等式求得函数f（x）的最小值的表达式，结果为2求得a和b的关系，进而根据f（1）＜

5

2

求得b的范围，最后根据b为整数求得b的值，则a的值可得．进而求得函数f（x）的解析式，进而根据二次函数的性质求得函数的单调区间．

解答：解：f（-x）=

ax2+1

-bx+c

=-f（x）=-

ax2+1

bx+c

∴-bx+c=-bx-c
∴c=0
∴f（x）=

ax2+1

bx

=

a

b

x+

1

bx

因为 a＞0，b＞0，x＞0 f（x）≥2

a b2

=

2 a

b

=2
∴a=b²，
f（1）=

a+1

b

=

b2+1

b

＜

5

2

∴（2b-1）（b-2）＜0
∴

1

2

＜b＜2，而b为整数，所以b=1，a=b²=1
∴f（x）=x+

1

x

∴单调区间：（-1，0），（0，1）．单调增区间为：（-∞，-1]，[1，+∞）．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，均值不等式的应用及函数的单调性．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．