Question

【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD中平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形．点M是棱PC的中点
（1）记平面ADM与平面PBC的交线是l，试判断直线l与BC的位置关系，并加以证明．
（2）若 ，求证PB⊥平面ADM，并求直线PC与平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

又AD平面PBC，BC平面PBC，

∴AD∥平面PBC，

又AD平面ADM，平面ADM∩平面PBC=l，

∴AD∥l，

又AD∥BC，

∴l∥BC．

（2）解：证明：以A为原点建立空间直角坐标系，

则P（0，0，1），B（0，1，0），D（1，0，0），C（1，1，0），M（ ， ， ），

∴ =（0，1，﹣1）， =（1，0，0）， =（ ， ， ），

∴ =0， =0，

∴PB⊥AD，PB⊥AM，

又AD平面ADM，AM平面ADM，AD∩AM=A，

∴PB⊥平面ADM．

∴ =（0，1，﹣1）是平面ADM的一个法向量，

又 =（1，1，﹣1），

∴cos＜ ＞= = = ．

∴直线PC与平面ADM所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）证明AD∥平面PBC，利用线面平行的性质可得AD∥l，由平行公理即可得出l∥BC；（2）建立空间坐标系，利用向量法证明PB⊥AD，PB⊥AM，故而PB⊥平面ADM，计算 ， 的夹角即可得出直线PC与平面ADM所成角的正弦值．
【考点精析】通过灵活运用空间角的异面直线所成的角，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．