Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别为AB、PC的中点。 

（1）求异面直线PA与BF所成角的正切值。

（2）求证：EF⊥平面PCD。

Answer 1

解：（1）如图，连结AC，过点F作FO⊥AC，∴面PAC⊥面ABCD

∵PA⊥平面ABCD， ∴平面PAC⊥AC，垂足为O，

连结BO，则FO⊥平面ABCD，且FO//PA。

∴∠BFO为异面直线PA与BF所成的角

在Rt△BOF中，OFPA=1，

OB=，则tanBFO=

（2）连结OE、CE、PE。∵E是AB的中点，∴OE⊥AB

又FO⊥平面ABCD，∴EF⊥AB。  ∵AB//CD  ∴EF⊥CD

在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA=CB，AE=BE，∴Rt△PAE≌Rt△CBE，∴PE=CE

∴又F为PC的中点，∴EF⊥PC。故EF⊥平面PCD。