Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为S_n，且S_n=80，S_2n=6560，求：
（1）前100项之和S₁₀₀．
（2）通项公式a_n．

Answer 1

分析：根据S_2n-S_n=6480＞S_n，可推断出公比大于1，即数列为递增数列，故可知第n项为数值的最大项．与S_n=80，S_2n=6560联立方程可求得首项a₁和q，进而可求出前100项之和和通项公式．

解答：解：设公比为q，∵S_2n-S_n=6480＞S_n，
∴q＞1．
又由a_n＞0，则最大项是a_n=a₁q^n-1=54；①
又S_n=

a1(1-qn)

1-q

=80，②
S_2n=

a1(1-q2n)

1-q

=6560，③
由①②③解得a₁=2，q=3，则
（1）前100项之和S₁₀₀=

2(3100-1)

3-1

=3¹⁰⁰-1．
（2）通项公式为a_n=2•3^n-1．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式和求和公式．关键是通过判断数列的递增或递减找到数值最大项．