Question

已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=.

（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；

（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.

Answer 1

（1）f（x）=

（2）证明略

解析:

（1）解  当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).

∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-.由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2) =-f(1),

得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f（x）=

(2)证明  当x∈(0,1)时，f(x)=

设0＜x₁＜x₂＜1,

则f(x₁)-f(x₂)=

∵0＜x₁＜x₂＜1,∴2-＞0， -1＞0,∴f(x₁)-f(x₂)＞0,即f(x₁)＞f(x₂),

故f(x)在（0，1）上单调递减.