Question

已知函数f(x)=

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

，则方程f(2x2+x)=a的根的个数不可能是（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：先画出函数f（t）的图象，得出f（t）=a的实数根的情况；再利用换元法，令t=2x²+x，进一步考查f（2x²+x）=a根的情况即可．

解答：解：（1）画出f（x）图象，
当x＞0时，f（x）=x+

1

x

≥2，
当x≤0时，f（x）=x³+3≤3．于是可得：
①当2＜a＜3时，f（x）=a有3个根，一负二正；
②当a=3时，f（x）=a有3个根，一零二正；
③当3＜a时，f（x）=a有2个正根；
④当a=2时，f（x）=a有一正一负根；
⑤当a＜2时，f（x）=a只有一负根．
（2）令t=2x²+x=2(x+

1

4

)2-

1

8

，则t≥-

1

8

，
①当2＜a＜3时，f（t）=a有3个t使之成立，一负二正，两个正t分别对应2个x，
当t＜-

1

8

时，没有x与之对应，
当t=-

1

8

时，有1个x与之对应，
当t＞-

1

8

时，有2个x与之对应，∴根的个数分别为4、5、6个；
②当3＜a时，f（t）=a有2个正根，两个正t分别对应2个x，此时根的个数为4个．
③由题目不必考虑a≤2的情形．
所以根的个数只可能为4、5、6个．
即方程f（2x²+x）=a的根的个数只可能为4、5、6个，不可能为3个．
故选A．

点评：正确得出函数的单调性并画出函数图象、利用换元法及分类讨论的方法是解题的关键．