Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

⑴求证：平面BCD；

⑵求异面直线AB与CD所成角余弦的大小；

⑶求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

方法一：

 

⑴证明：连结OC

        

       ，．

       在中，由已知可得   

而，  

       即

      

       ∴平面．

⑵解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为

BC的中点知，

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在中，  

是直角斜边AC上的中线，∴   

∴，

∴异面直线AB与CD所成角余弦的大小为

⑶解：设点E到平面ACD的距离为．

       ， 

       在中，,

       ,而，．

       ∴，

       ∴点E到平面ACD的距离为 

       方法二：⑴．同方法一．

       ⑵解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

      

       ，

       ∴ 异面直线AB与CD所成角余弦的大小为．

       ⑶解：设平面ACD的法向量为则

       ，

∴，令得是平面ACD的一个法向量．

       又

       ∴点E到平面ACD的距离     ．