题目内容
【题目】在多面体
中，四边形
是正方形， 
， 
， 
， 
.
（Ⅰ） 求证： 
平面
；
（Ⅱ）在线段
上确定一点
，使得平面
与平面
所成的角为
.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）当点
满足
时，平面
与平面
所成角的大小为
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）在
中，由正弦定理得得
即
即
，在
中，可得
即
，即
，由此可证明
平面
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 
平面
，则平面
平面
如图，过
点作平面
的垂线
，以点
为坐标原点， 
， 
， 
所在直线分别为
轴， 
轴， 
轴建立空间直角坐标系，求出相应点及向量的坐标，设平面
的一个法向量
，令
，得
.
易知平面
的一个法向量
.由向量的夹角公式
， 化简得
， 
.
即当点
满足
时，平面
与平面
所成角的大小为
.
试题解析：（Ⅰ） 
四边形
是正方形， 
.
在
中， 
，即
得
，即
，在梯形
中，过
点作
，交
于点
.
， 
， 
，
在
中，可求
， 
， 
， 
.
又
，
平面
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 
， 
平面
，又
平面
，
平面
平面
如图，过
点作平面
的垂线
，
以点
为坐标原点， 
， 
， 
所在直线分别为
轴， 
轴， 
轴建立空间直角坐标系，
则
， 
， 
， 
， 
， 
，.
设
， 
，则
.
设平面
的一个法向量
，则
， 
即
令
，得
.
易知平面
的一个法向量
.
由已知得
，
化简得
， 
.
当点
满足
时，平面
与平面
所成角的大小为
.
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【题目】在测试中，客观题难度的计算公式为
，其中
为第
题的难度， 
为答对该题的人数， 
为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题，测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
测试后，从中随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如表：
（Ⅰ）根据题中数据，估计中240名学生中第5题的实测答对人数；
（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为
，求
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设
为第
题的实测难度，请用
和
设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
