Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.

(I)求圆的直角坐标方程；

(II)若是直线与圆面的公共点,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解圆的普通方程；

（Ⅱ）解法一：设，将直线的参数方程代入，得，又由直线过，圆的半径是，即求解的范围，进而得到的取值范围；

解法二：求得直线与圆的交点为的坐标，由点在线段上，得的最大值和最小值，即可得到的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）∵圆的极坐标方程为

又，

∴圆的普通方程为

（Ⅱ）解法一：设，圆的方程即，

∴圆的圆心是，半径

将直线的参数方程（为参数）代入，得

又∵直线过，圆的半径是1，

，即的取值范围是．

解法二：圆的方程即，

将直线的参数方程（为参数）化为普通方程：

∴直线与圆的交点为和，故点在线段上

从而当与点重合时， ；

当与点重合时， ．