Question

直线l与函数y=x^a（a＜0）的图象切于点（1，1），则直线l与坐标轴所围成三角形的面积S的取值范围为（　　）

A．（0，4]

B．（0，2]

C．[4，+∞）

D．[2，+∞）

Answer 1

求导函数，得到y'=ax^a-1，x=1时，y'=a，所以切线就是y-1=a（x-1），化简，得到y=ax+1-a．
令x=0，得到y=1-a，所以直线l与y轴交与A（0，1-a）；
令y=0，解得x=

a-1

a

，所以直线l与x轴相交于B（

a-1

a

，0）．
所以直线l与坐标轴围成的三角形面积S=

1

2

|1-a||

a-1

a

|，
因为a＜0，所以1-a＞0，

a-1

a

＞0，因此S=

1

2

[（-a-

1

a

）+2]≥2
当且仅当-a=-

1

a

，即a=-1时，取等号
∴S的取值范围是[2，+∞）．
故选D．