Question

【题目】在三棱锥中， 底面为的中点， 为的中点，点在上，且.

（1）求证： 平面；

（2）求证： 平面；

（3）若，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）由PB⊥底面ABC，可证AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，即可证明AC⊥平面PBC．
（2）取AF的中点G，连结CG，GM．可得EF∥CG．又CG平面BEF，有EF平面BEF，有CG∥平面BEF，同理证明GM∥平面BEF，有平面CMG∥平面BEF，即可证明CM∥平面BEF．
（3）取BC中点D，连结ED，可得ED∥PB，由PB⊥底面ABC，故ED⊥底面ABC，由PB=BC=CA=2，即可求得三棱锥E-ABC的体积．

试题解析：

（1）因为底面，且底面，

所以.

由，可得.

又，

所以平面.

（2）取的中点，连接.

因为为的中点，所以为中点.

在中， 分别为中点.

所以，

又平面平面，所以平面.

同理可证平面.

又，

所以平面平面.

又平面，

所以平面.

（3）取中点，连接.

在中， 分别为中点，所以，

因为底面，所以底面.

由，可得.