Question

4．已知函数f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）过曲线y=f（x）上任意一点作切线l，问l与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积是否为定值，若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由求导公式和法则求出导数，再由题意和导数的几何意义得f（2）和f′（2），代入对应的解析式列出方程，再求解可得f（x）的解析式，求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；
（2）取曲线上任一点，求出切线的斜率和切线方程，并求与x=1和y=x的交点，再由面积公式，即可得到定值．

解答 解：（1）函数f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$，则f′（x）=a-$\frac{1}{（x+b）^{2}}$，
∵在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，
∴f′（2）=a-$\frac{1}{（2+b）^{2}}$=0   ①
f（2）=2a+$\frac{1}{2+b}$=3       ②
由①②解得，a=1，b=-1，
∴f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$，
即有f′（x）=1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x}{（x-1）^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或1＜x＜2，
则f（x）的增区间为（-∞，0），（2，+∞）；减区间为（0，1），（1，2）；
（2）∵f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
在曲线上任取一点（x₀，x₀+$\frac{1}{{x}_{0}-1}$），
由f′（x₀）=1-$\frac{1}{（{x}_{0}-1）^{2}}$，
知过此点的切线方程为y-x₀-$\frac{1}{{x}_{0}-1}$=[1-$\frac{1}{（{x}_{0}-1）^{2}}$]（x-x₀），
令x=1得y=$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$，即切线与直线x=1的交点为（1，$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$），
令y=x，得y=2x₀-1，
即切线与直线y=x的交点为（2x₀-1，2x₀-1），
又直线x=1与直线y=x的交点为（1，1），
从而所围成的三角形面积为：$\frac{1}{2}$|$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$-1|•|2x₀-1-1|=$\frac{1}{2}$|$\frac{2}{{x}_{0}-1}$|•|2x₀-2|=2，
故所围成的三角形面积为定值2．

点评 本题考查导数知识的运用：求切线的斜率和单调区间，考查三角形面积的计算，正确求导和确定切线方程是关键．