Question

（本小题满分14分）

     如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, 

AA=2,  E、E分别是棱AD、AA的中点. 

（1）设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；

（2）证明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中点F₁，

连接A₁D，C₁F₁，CF₁，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD为平行四边形， ………2分

所以CF₁//A₁D，                   

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，

所以EE₁//A₁D，                       ………3分

所以CF₁//EE₁，                                  ………4分

又因为平面FCC，                        ………5分

平面FCC，                              ………6分

所以直线EE//平面FCC.                         ………7分

（2）连接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以CC₁⊥AC,                     ………8分

因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2,

 F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，

△BCF为正三角形，………10分

,△ACF为等腰三角形，且

所以AC⊥BC,                                      

又因为BC与CC₁都在平面BB₁C₁C内且交于点C,

所以AC⊥平面BB₁C₁C,                              ………12分

而平面D₁AC,                                 ………13分

所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.             ………………………14分