Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是1，求直线DA₁与AC间的距离．

Answer 1

建立如如图所示坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），


A₁（0，0，1），

AC

=（1，1，0），

DA1

=（0，-1，1），
设MN为直线DA₁与AC的公垂线段，且

MN

=（x，y，z），
且

MN

⊥

AC

，

MN

⊥

DA1

，x+y=0，-y+z=0，令y=t，则

MN

=（-t，t，t），
而另可设M（m，m，0），N（0，a，b），则

MN

=（-m，a-m，b），
∴

-m=-1 a-m=t b=t.

∴N（0，2t，t）．
又2t+t=1，∴t=

1

3

．
∴

MN

=（-

1

3

，

1

3

，

1

3

，|

MN

|=

1 9 + 1 9 + 1 9

=

3

3

．
即直线DA₁与AC间的距离为

3

3

．