Question

如图，在三棱锥中，底面，

点，分别在棱上，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面

所成的角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，BC面ABC    ∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∵PA与AC相交     ∴BC⊥平面PAC.                …   …  5分

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，……8分

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

.与平面所成的角的余弦值为.        ……14分

【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，

        设，由已知可得

       .

       （Ⅰ）∵，

∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵，

∴.

∴与平面所成的余弦值为.