Question

给出下列命题：
①函数f（x）=sinx+|sinx|（x∈R）的最小正周期是2π；
②已知函数f(x)=

acosx，x≥0 x2-1，x＜0

在x=0处连续，则a=-1；
③函数y=f（x）与y=1-f^-1（1-x）的图象关于直线x+y+1=0对称；
④将函数y=tan(ωx+

π

4

)(ω＞0)的图象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后，与函数y=tan(ωx+

π

6

)的图象重合，则ω的最小值为

1

6

，你认为正确的命题有：

 

．

Answer 1

分析：利用周期函数的定义或者绝对值的定义去掉绝对值判断①中函数的周期、利用连续函数的定义列出关于字母a的方程、根据原函数与其反函数的关系，利用图象之间的对称性、利用图象平移的知识解决本题是正确判断该题的关键．注意对问题的正确转化．

解答：解：根据绝对值的定义，得出f（x）=

2sinx，2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z 0，2kπ-π≤x≤2kπ，k∈Z

，可以判断出该函数的最小正周期是2π，故①正确；
根据连续函数的定义，得出acos0=0-1?a=-1，故②正确；
函数y=f（x）与其反函数y=f^-1（x）关于直线y=x对称，而y=f^-1（x）与y=1-f^-1（1-x）的图象关于点（

1

2

，

1

2

）对称，故函数y=f（x）与y=1-f^-1（1-x）的图象关于直线x+y+1=0对称是错误的，即③错误；
将函数y=tan(ωx+

π

4

)(ω＞0)的图象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后得到y=tan(ωx+

π

4

-

ωπ

6

)，由题意该函数与函数y=tan(ωx+

π

6

)是同一个函数，则有

π

4

-

ωπ

6

=

π

6

+kπ，解得ω=

1

2

-k，ω＞0，k∈Z，故ω的最小值为

1

2

，故④错误．
故答案为：①②．

点评：本题考查命题真假的判断，考查学生对函数知识的理解和把握程度，判断一个命题为真命题需要证明该命题的正确性，为假命题可以证明其为假命题或举反例说明，考查学生的转化与化归能力．