Question

已知数列{an}：

1

2

，

1

3

+

2

3

，

1

4

+

2

4

+

3

4

，

1

5

+

2

5

+

3

5

+

4

5

，…，那么数列{bn}={

1

anan+1

}前n项的和为（　　）

• A．4(1-

  1

  n+1

  )
• B．4(

  1

  2

  -

  1

  n+1

  )
• C．1-

  1

  n+1

• D．

  1

  2

  -

  1

  n+1

Answer 1

分析：先求得数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

n+1

+

2

n+1

+

3

n+1

+…+

n

n+1

=

n

2

，继而数列{bn}={

1

anan+1

}的通项公式为bn=

1

anan+1

=

2

n

•

2

n+1

=4（

1

n

-

1

n+1

），经裂项后，前n项的和即可计算．

解答：解：数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

n+1

+

2

n+1

+

3

n+1

+…+

n

n+1

=

n(n+1)

2(n+1)

=

n

2

数列{bn}={

1

anan+1

}的通项公式为bn=

1

anan+1

=

2

n

•

2

n+1

=4（

1

n

-

1

n+1

）
其前n项的和为4[（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=4(1-

1

n+1

)
故选A

点评：本题考查了数列求和的两种方法：公式法和裂项相消法．属于基础题．