题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（III）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

解：（I）当a=2时，f（x）= $\text{[math]}$ ，f′（x）=x- $\text{[math]}$ ，
∴f′（1）=-1，f（1）= $\text{[math]}$ ，
故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y- $\text{[math]}$ =-（x-1）
化为一般式可得2x+2y-3=0…..（3分）
（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x= $\text{[math]}$ ，
①若 $\text{[math]}$ ≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，
因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）= $\text{[math]}$ ．
②若1＜ $\text{[math]}$ ＜e，即1＜a＜e²，在（1， $\text{[math]}$ ）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在（ $\text{[math]}$ ，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
③若 $\text{[math]}$ ，即a≥e²在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，
因此，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）= $\text{[math]}$ ．
综上，当0＜a≤1时，f_min（x）= $\text{[math]}$ ；当1＜a＜e²时，f_min（x）= $\text{[math]}$ ；
当a≥e²时，f_min（x）= $\text{[math]}$ ．…．（9分）
（III）由（II）可知当0＜a≤1或a≥e²时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．
当1＜a＜e²时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则
$\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，此时，e＜a＜ $\text{[math]}$ ．
所以，a的取值范围为（e， $\text{[math]}$ ）…..（13分）
分析：（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=-1，f（1）= $\text{[math]}$ ，进而可得方程，化为一般式即可；
（Ⅱ）可得x= $\text{[math]}$ 为函数的临界点，分 $\text{[math]}$ ≤1，1＜ $\text{[math]}$ ＜e， $\text{[math]}$ ，三种情形来讨论，可得最值；
（III）由（II）可知当0＜a≤1或a≥e²时，不合题意，当1＜a＜e²时，需 $\text{[math]}$ ，解之可得a的范围．
点评：本题考查利用导数研究函数的切线，涉及函数的零点和闭区间的最值，属中档题．