Question

如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于

3

3

．对于图二，完成以下各小题：
（Ⅰ）求A，C两点间的距离；
（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取BD的中点E，先证得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，再在△ACE中利用余弦定理即可求得A，C两点间的距离；
（II）欲证线面垂直：AC⊥平面BCD，转化为证明线线垂直：AC⊥BC，AC⊥CD，即可；
（III）欲求直线AC与平面ABD所成角，先结合（I）中的垂直关系作出直线AC与平面ABD所成角，最后利用直角三角形中的边角关系即可求出所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE，CE，
由AB=AD，CB=CD，得：AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，
∴cos∠AEC=

3

3

（2分）
在△ACE中，AE=

6

， CE=

2

AC²=AE²+CE²-2AE•CE•cos∠AEC
=6+2-2×

6

×

2

×

3

3

=4
∴AC=2（4分）

（Ⅱ）由AC=AD=BD=2

2

，AC=BC=CD=2
∴AC²+BC²=AB²，AC²+CD²=AD²，
∴∠ACB=∠ACD=90°（6分）
∴AC⊥BC，AC⊥CD，
又BC∩CD=C∴AC⊥平面BCD．（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知BD⊥平面ACEBD?平面ABD
∴平面ACE⊥平面ABD（10分）
平面ACE∩平面ABD=AE，
作CF⊥AE交AE于F，则CF⊥平面ABD，∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，（12分）
∴sin∠CAF=sin∠CAE=

CE

AE

=

3

3

．（14分）

点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算、直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角，以及空间几何体的概念、空间想象力，是中等题．