Question

已知数列{a_n}中各项均为正数，S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=

1

2

（a

2 n

+a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）对n∈N^*，试比较

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

与a₂的大小．

Answer 1

分析：由Sn=

1

2

(an2+an)，{a_n}中各项均为正数解得a₁=1，当n≥2时，S_n-S_n-1=a_n=

1

2

(an2+an)-

1

2

(an-12+an-1)，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）对n∈N^*，S_n是数列{a_n}的前n项和，Sn=

n(n+1)

2

，

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂项求和法能够推导出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜a₂．

解答：解：（1）∵Sn=

1

2

(an2+an)，
∴当n=1时，S₁=a₁=

1

2

（a12+a1），
又{a_n}中各项均为正数解得a₁=1，…（2分）
当n≥2时，S_n-S_n-1=a_n=

1

2

(an2+an)-

1

2

(an-12+an-1)，…（4分）
∴2a_n=（a_n²+a_n）-（an-12+an-1），
即an2+an-an-12-an-1-2an=0，
即an2-an-12-an-1-an=0，
∴（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）-（a_n-1+a_n）=0，
∴（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
∵{a_n}中各项均为正数，∴a_n-a_n-1-1=0，
即a_n-a_n-1=1（n≥2），∴

a

n

=n，（n≥2），…（6分）
又n=1时，a₁=1，∴数列{a_n}的通项公式是a_n=n，（n∈N^*）．…（8分）
（2）对n∈N^*，S_n是数列{a_n}的前n项和，
∴Sn=

n(n+1)

2

，

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），…（10分）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

），…（12分）
∵a₂=2，∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2（1-

1

n+1

）＜2=a₂，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜a₂．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查两个式式大小的比较，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．