Question

已知函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，1）上是增函数，在（-∞，-2）上是减函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[

1

e

-1，e-1]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，1）上是增函数，在（-∞，-2）上是减函数，f（x）在x=-2处取得极值点，可得f′（-2）=0利用方程求出a值，从而求解；
（2）利用导数研究函数f（x）的最值，求出f（x）在x∈[

1

e

-1，e-1]的最值，要使f（x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m即可，从而求出m的取值范围；

解答：解：（1）∵函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²，
∴f′（x）=2x+2-

2(1+x)a

(x+1)2

=2（x+1）-

2a

x+1

∵函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，1）上是增函数，在（-∞，-2）上是减函数
f（x）在x=-2处取得极值，
依题意得f′（2）=-2+2a=0，所以a=1，从而f（x）=（x+1）²-ln（x+1）²，
…．（6分）
（2）f′（x）=

2(x+1)2-2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

，
令f′（x）=0，得x=0或x=-2（舍去），
f（x）在[

1

e

-1，0]递减，在[0，e-1]递增，
且f(

1

e

-1)＜f(e-1)，所以m＞f（e-1）=e²-2…（12分）

点评：此题主要考查利用导数研究函数的最值问题，以及函数的恒成立问题，利用到了转化的思想，是一道中档题；