Question

已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分别是两腰AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．
（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值．
（2）当f（x）取得最大值时，求BD与平面BCFE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先表示出三棱锥的体积记为f（x），利用基本不等式求出f（x）的最大值．
（2）先表示出BD与平面BCFE所成角，然后解直角三角形的边长，求出BD与平面BCFE所成角的正弦值．

解答：解：（1）因为ABCD为直角梯形，沿EF将梯形ABCD翻折后，平面AEFD⊥平面EBCF；所以三棱锥D-BCF的高为AE所以三棱锥D-BCF的体积为：f(x)=

1

3

×

1

2

×4×(4-x)×x（4分）
所以f(x)=

2

3

(4-x)x≤

2

3

(

4-x+x

2

)2=

8

3

所以当x=2时，f（x）取最大值为

8

3

（7分）
（2）作DH⊥EF于H，连接HB，
因为平面AEFD⊥平面EBCF；
所以DH⊥面BCFE，所以∠DBH就是所求的BD与平面BCFE所成角（10分）
容易计算得，DH=2，BH=

BE2+EH2

=2

2

，R所以BD=

DH2+BH2

=2

3

所以sin∠DBH=

DH

BD

=

3

3

（13分）
所以，BD与平面BCFE所成角的正弦值为

3

3

（14分）

点评：本题考查棱锥的体积，函数的最值，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，是中档题．