题目内容

已知点P为椭圆
x2
20
+
y2
15
=1上一点，A、B为椭圆
x2
4
+
y2
3
=1上不同的两点，且
OP
=2
OA
+
OB
，若OA、OB所在的直线的斜率为k1、k2，则k1•k2=
-
3
4
-
3
4
．
分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．利用点与椭圆的关系可得
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1，
x
2
0
20
+
y
2
0
15
=1．再利用向量的运算
OP
=2
OA
+
OB
，可得
x0=2x1+x2
y0=2y1+y2
，代入点P满足的椭圆方程即可得出．
解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．
则
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1，
x
2
0
20
+
y
2
0
15
=1．
∵
OP
=2
OA
+
OB
，∴
x0=2x1+x2
y0=2y1+y2
，代入上述方程得
(2x1+x2)2
20
+
(2y1+y2)2
15
=1，
∴
4
5
(
x
2
1
4
+
y
2
1
3
)+
1
5
(
x
2
2
4
+
y
2
2
3
)+
4
5
(
1
4
x1x2+
1
3
y1y2)=1，
∴
4
5
+
1
5
+
4
5
(
1
4
x1x2+
1
3
y1y2)=1，
得
y1y2
x1x2
=-
3
4
．
故答案为-
3
4
．
点评：熟练掌握点与椭圆的关系、向量的运算与相等、斜率的计算公式等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆方程为C：
x2
2
+y2=1，它的左、右焦点分别为F1、F2．点P（x0，y0）为第一象限内的点．直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0成立的条件（用k1、k2表示）．
（3）又已知点E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，直线F2E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足
EG
=2
F2E
，求p的最大值．
（2011•湖北模拟）已知点P（x0，y0）是椭圆E：
x2
2
+y2=1上任意一点x0y0≠1，直线l的方程为
x0x
2
+y0y=1
（I）判断直线l与椭圆E交点的个数；
（II）直线l0过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线l0的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标．
（2011•嘉定区三模）如图，已知椭圆
x2
2
+y2=1的左右焦点分别为F1、F2，椭圆的下顶点为A，点P是椭圆上任意一点，，圆M是以PF2为直径的圆．
（1）若圆M过原点O，求圆M的方程；
（2）当圆M的面积为
π
8
时，求PA所在直线的方程；
（3）写出一个定圆的方程，使得无论点P在椭圆的什么位置，该定圆总与圆M相切．请写出你的探究过程．
（2009•卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；
（3）将（1）中的曲线C推广为椭圆：
x2
2
+y2=1，并将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解．
已知椭圆方程为C：
x2
2
+y2=1，它的左、右焦点分别为F1、F2．点P（x0，y0）为第一象限内的点．直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0成立的条件（用k1、k2表示）．
（3）又已知点E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，直线F2E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足
EG
=2
F2E
，求p的最大值．

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