Question

在△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项．
（1）求∠B的大小；
（2）若a+c=

10

，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用等差中项的性质，知acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，由此结合三角函数的性质能够求出∠B．
（2）由（1）知B=

π

3

，利用余弦定理得到

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，再利用三角形面积公式S△ABC=

1

2

acsinB，能求出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵bcosB是acosC，ccosA的等差中项，
∴acosC+ccosA=2bcosB，
由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，
即sin（A+C）=2sinBcosB，
∵A+C=π-B，0＜B＜π，
∴sin（A+C）=sinB≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

．
（2）由B=

π

3

，得

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
即

(a+c)2-2ac-b2

2ac

=

1

2

，
∴ac=2，
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

2

．

点评：本题考查等差中项，正弦定理、余弦定理、三角形面积等公式的应用，解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用．