Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，周长为

2

+1，已知：m=（sinA+sinB，sinC），n=(1，-

2

)，且m⊥n，
（1）求边c的长；  （2）求角C的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量垂直时数量积为0列出关系式，利用正弦定理化简后，再根据周长的值，求出c的值即可；
（2）利用余弦定理表示出cosC，分子配方后把a+b及c的值代入化简，再利用基本不等式得到cosC大于等于0，由C为三角形的内角，求出C的范围，从而得到C的最大值．

解答：解：（1）由

m

⊥

n

得：sinA+sinB-

2

sinC=0，
由正弦定理可得：a+b=

2

c，又a+b+c=

2

+1，
解得c=1；
（2）由（1）a+b=

2

，
则cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-c2

2ab

-1=

1

2ab

-1≥

2

(a+b)2

-1=0，
又C为三角形的内角，∴0＜C≤

π

2

，
则角C的最大值为

π

2

．

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，正弦、余弦定理，基本不等式，以及余弦函数的图象与性质，属于解三角形的题型，其中正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，给已知与未知提供了联系，故熟练掌握定理是解本题的关键．