Question

选做题：（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

5

2

．
B．（选修4-5不等式选讲）不等式|2x-1|+|2x-3|≥4的解集是

（-∞，0]∪[2，+∞）

．
C．（选修4-1几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是

48

5

．

Answer 1

分析：A 曲线方程化为直角坐标方程为 x²+（y-1）²=1，表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆，把直线方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离 d，d-1即为所求．
B 把不等式转化为与之等价的三个不等式组，解出每个不等式组的解集，取并集即为所求．
C 令∠AOB=θ，则∠BOD=π-θ． Rt△AOB中，由勾股定理可得 AO，由正弦定理求得sinθ的值，根据△ABD的面积 S_△ABD=S_△ABO+S_△BOD，运算求得结果．

解答：解：A 曲线ρ=2sinθ即 ρ²=2ρsinθ，化为直角坐标方程为 x²+（y-1）²=1，表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆．
直线ρsin(θ+

π

3

)=4 即

1

2

ρsinθ+

3

2

ρcosθ=4，化为直角坐标方程为

3

x +y -8=0．
由于圆心到直线的距离等于 d=

|0+1-8|

3+1

=

7

2

，
故点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值为

7

2

-1=

5

2

．
故答案为

5

2

．
B 由不等式|2x-1|+|2x-3|≥4 可得

x ＜  1 2 4-4x≥4

 ①，或 

1 2 ≤x≤  3 2 2≥4

②，或 

x＞ 3 2 4x-4≥4

 ③．
解①得 x≤0，解②得 x∈∅，解 ③得 x≥2．
故原不等式的解集为{x|x≤0，或 x≥2}，
故答案为 （-∞，0]∪[2，+∞）．
C 令∠AOB=θ，则∠BOD=π-θ．   Rt△AOB中，由勾股定理可得 AO=

AB2+OB2

=

16+9

=5．
由正弦定理可得

AB

sinθ

=

AO

sin π 2

，即

4

sinθ

=5，∴sinθ=

4

5

．
故△ABD的面积 S_△ABD=S_△ABO+S_△BOD=

1

2

AB×OB+

1

2

× OB × OD × sin(π-θ)=

1

2

×4×3+

1

2

×3×3×

4

5

=

48

5

．
故答案为

48

5

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，绝对值不等式的解法，圆的切线性质定理的应用，属于中档题．