Question

已知双曲线C的方程为x²-y²=4.椭圆E以双曲线C的顶点为焦点,且其右顶点A到双曲线C的渐近线距离为.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若直线y=x与椭圆E交于M、N两点(M点在第一象限),P、Q是椭圆上不同于M的相异两点,点O为坐标原点,并且满足(+)·(-)=0.试求直线PQ的斜率.

Answer 1

解:(1)设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0),

由题意,解得因此,椭圆的方程为+=1.

(2)由解之,得或

∴M(,).

∵()·()=0,

即()·=0.

又与∠PMQ的平分线共线,

∴∠PMQ的平分线垂直于x轴.

若PM斜率存在,设PM的斜率为k,则QM的斜率为-k,

因此,PM和QM的方程分别为

y=k(x)+,y=-k(x)+.由

消去y并整理,得(1+3k²)x²-3k(k-1)x+k²-9k=0.(*)

∵M(,)在椭圆上,

∴x=是方程(*)的一个根.

从而x_P=,

同理x_Q=,

从而直线PQ的斜率为

k_PQ====.

∴直线PQ的斜率为.

若直线PM的斜率不存在,则点Q、M重合,与题设不符.

综上所述,直线PQ的斜率为定值.