Question

已知数列{a_n}满足a₁=a，an+1=

(4n+6)an+4n+10

2n+1

（n∈N^* ）．
（1）判断数列{

an+2

2n+1

}是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项a_n；．
（2）如果a=1时，数列{a_n}的前n项和为S_n，试求出S_n．

Answer 1

分析：（1）先将an+1=

(4n+6)an+4n+10

2n+1

转化变形构造出数列{

an+2

2n+1

}，再去研究其性质．
（2）由（1）可求出a_n=（2n+1）•2^n-1-2，利用分组、错位相消法求和即可．

解答：解：（1）an+1=

(4n+6)an+4n+10

2n+1

=

(4n+6)(an+2)

2n+1

，

an+1+2

2n+3

=2•

an+2

2n+1

．令bn=

an+2

2n+1

，，则bn+1=2bn，且b1=

a+2

3

．
∴当a=-2时，b1=0，则bn=0，数列{

an+2

2n+1

}不是等比数列．
当a≠-2时，b1≠0，则数列{

an+2

2n+1

}是等比数列，且公比为2．
bn=b1•2^n-1，即

an+2

2n+1

=

a+2

3

•2n-1．解得an=

(a+2)(2n+1)

3

•2n-1-2．
（2）由（1）知，当a=1时，a_n=（2n+1）•2^n-1-2
Sn=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2 ^n-1-2n．
由错位相减法，求得Tn=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2 ^n-1 =（2n-1）•2ⁿ+1，
∴Sn=Tn-2n=（2n-1）•（2^n_-1），

点评：本题考查等比数列的定义及判定、分组求和、错位相消法求和．考查变形转化、计算、分类讨论的思想方法和能力．