Question

已知函数f（x）=arcsin（x-x²）；
（1）求f（x）的定义域；
（2）写出函数f（x）的值域；
（3）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）设t=x-x²，根据反正弦函数的定义域解关于x的不等式-1≤x-x²≤1，即可得出f（x）的定义域；
（2）根据二次函数的图象与性质，得t=x-x²在x∈[

1- 5

2

，

1+ 5

2

]时有最大值

1

4

、最小值-1．由此利用反正弦函数的单调性，可得f（x）的最大值和最小值，从而得出函数f（x）的值域；
（3）根据二次函数t=x-x²在x∈[

1- 5

2

，

1+ 5

2

]上的单调性和反正弦函数y=arcsint的单调性，利用复合函数单调性的法则，可得函数f（x）的单调递减区间．

解答：解：设t=x-x²，
（1）∵反正弦函数y=arcsint的定义域为[-1，1]，
∴解不等式-1≤x-x²≤1，得

1- 5

2

≤x≤

1+ 5

2

．
因此，f（x）的定义域为[

1- 5

2

，

1+ 5

2

]．
（2）∵t=x-x²，x∈[

1- 5

2

，

1+ 5

2

]．
∴配方得t=-（x-

1

2

）²+

1

4

，
可得当x=

1

2

时，t有最大值

1

4

；当x=

1- 5

2

或

1+ 5

2

时，t有最小值-1．
∵反正弦函数y=arcsint，在t∈[-1，

1

4

]时为增函数
∴f（x）=arcsin（x-x²）的最小值为arcsin-1=-

π

2

，最大值为arcsin

1

4

．
因此，函数f（x）的值域为[-

π

2

，arcsin

1

4

]．
（3）由（2）的结论，得t=x-x²=-（x-

1

2

）²+

1

4

，在x∈[

1- 5

2

，

1

2

]时为增函数
又∵反正弦函数y=arcsint在其定义域上为增函数，
∴由复合函数单调性法则，可得f（x）=arcsin（x-x²）的增区间为[

1- 5

2

，

1

2

]．

点评：本题着重考查了二次函数的图象与性质、反三角函数的定义域与值域、复合函数的单调性判断和不等式的解法等知识，属于中档题．