Question

20．极坐标方程ρcosθ-ρsinθ+1=0的直线与x轴的交点为P，与椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）交于A，B两点，求|PA|•|PB|

Answer 1

分析 极坐标方程ρcosθ-ρsinθ+1=0的直线化为x-y+1=0，与x轴的交点为P（-1，0），其参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（α为参数）．椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）化为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．把直线参数方程代入椭圆方程可得t₁t₂．利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：极坐标方程ρcosθ-ρsinθ+1=0的直线化为x-y+1=0，与x轴的交点为P（-1，0），其参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（α为参数）．
椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）化为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
把直线参数方程代入椭圆方程可得：$5{t}^{2}-2\sqrt{2}t-6=0$．
∴t₁t₂=-$\frac{6}{5}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．