Question

已知函数f(x)=

2x+a

2x+b

为奇函数．
（1）求a和b的值；
（2）当f（x）定义域不是R时，判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并给出证明；
（3）当f（x）定义域为R时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的性质可得f（x）+f（-x）=0，结合函数的解析式构造方程组，可求出a和b的值；
（2）当f（x）定义域不是R时，可得b＜0，结合（1）中结论可得函数的解析式，进而利用做差法，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，判断f（x₁）与f（x₂）大小，可得结论；
（3）当f（x）定义域是R时，可得b≥0，结合（1）中结论可得函数的解析式，进而利用分类常数法，结合指数函数的性质可得函数f（x）的值域．

解答：（1）解：由f（x）为奇函数得，f（x）+f（-x）=0，
即 

2x+a

2x+b

+

2-x+a

2-x+b

=0，化简得（a+b）（2^2x+2^-x）+2（ab+1）=0
∴

a+b=0 ab+1=0

，解得：

a=1 b=-1

或  

a=-1 b=1

        （4分）
（2）由已知得

a=1 b=-1

，f（x）=

2x+1

2x-1

这时，f（x）在（0，+∞）内是减函数．
证明：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2x1+1

2x1-1

-

2x2+1

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂
∴2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
因此，f（x）在（0，+∞）内是减函数． （4分）
（3）解：由已知得：f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴-1＜f（x）＜1
因此，f（x）的值域为（-1，1）（12分）

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，函数的值域，其中根据奇函数的定义，构造方程求出a和b的值是解答本题的关键．