Question

已知函数f(x)=

a

x+1

+lnx（a为实常数）的两个极值点为x₁，x₂，且满足x₁＜1＜x₂＜2．
（1）求a的取值范围；
（2）比较f(

3

2

x+

4

2x2+x

+

1

2

)与f(3-x2-2x-2+2)的大小．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，根据函数f（x）两个极值点为x₁，x₂，且满足x₁＜1＜x₂＜2．判断f′（1）＜0，f′（2）＞0，即可得到a的范围．
（2）先判断

3

2

x+

1

2

+

4

2x2+x

与3-x2-2x-2+2的大小，再利用导数判断函数f（x）的单调性，再根据

3

2

x+

1

2

+

4

2x2+x

与3-x2-2x-2+2的大小，比较f(

3

2

x+

4

2x2+x

+

1

2

)与f(3-x2-2x-2+2)的大小即可．

解答：解：（1）f′(x)=

-a

(x+1)2

+

1

x

=

x2-(a-2)x+1

x(x+1)2

令g（x）=x²-（a-2）x+1∵x＞0∴g（x）的两零点为x₁，x₂，且f'（x）与g（x）同号．
x₁＜1＜x₂＜2．∴

g(1)＜0 g(2)＞0

⇒

1+2-a+1＜0 4+2(2-a)+1＞0

得4＜a＜

9

2

（2）∵

3

2

x+

4

2x2+x

+

1

2

=

x

2

+(x+

1

2

)+

1

x 2 (x+ 1 2 )

＞33-x2-2x-2+2
=3-(x+1)2-1+2
∵0＜3-(x+1)2-1≤

1

3

∴2＜3-(x+1)2-1+2≤

1

3

+2
∴

3

2

x+

1

2

+

4

2x2+x

＞3-x2-2x-2+2＞2
∵x＞2时，f'（x）＞0⇒f（x）在（2，+∞）上单调递增
∴f(

3

2

x+

4

2x2+x

+

1

2

)＞f(3-x2-2x-2+2)

点评：本题考查了导数与极值点的关系，以及利用导数判断函数的单调区间的问题，属于导数的用用．