题目内容

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，F在A₁B₁上．
（1）若DE⊥CF，求A₁F的长；
（2）求二面角C-C₁D-E的余弦值．

解（1）以D点为坐标原点，DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则

D（0，0，0），E（1，2，0），C₁（0，2，2），C（0，2，0）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设A₁F=x，得F（2，x，2）， $\text{[math]}$ =（2，x-2，2），
当DE⊥CF时， $\text{[math]}$ ，即2+2（x-2）=0，
解之得x=1，所以A₁F的长为1． …（5分）
（2）设平面DEC₁的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 得2y₁+2z₁=0，
再由 $\text{[math]}$ 得x₁+2y₁=0，
令y₁=-1得x₁=2，z₁=1，所以平面DEC₁的一个法向量为 $\text{[math]}$ ． …（7分）
易得平面DCC₁的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，…（8分）
设二面角C-C₁D-E的平面角为θ，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以二面角C-C₁D-E的余弦值为 $\text{[math]}$ ． …（10分）
分析：（1）以D点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，可得D、E、C₁、C各点的坐标，从而得到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的坐标，设A₁F=x，得 $\text{[math]}$ =（2，x-2，2）．DE⊥CF，利用垂直向量的数量积为零建立关于x的方程组，解之即可得到A₁F的长；
（2）设平面DEC₁的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 建立关于x₁、y₁、z₁的方程组，并取x₁=2，得 $\text{[math]}$ ，再根据平面DCC₁的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，计算出向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 夹角的余弦之值，即可得到二面角C-C₁D-E的余弦值．
点评：本题给出正方体，探究了异面直线的垂直并求二面角的大小，着重考查了正方体的性质和利用空间向量计算线线角和面面角等知识，属于中档题．