题目内容

已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（
an
，an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bn•bn+2＜b2n+1．
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故an=1+（a-1）×1=n．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n．
bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）++（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2++2+1
=
1-2n
1-2
=2n-1
∵bn•bn+2-bn+12=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2
=（22n+2-2n-2n+2+1）-（22n+2-2•2n+1+1）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12

解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）∵b2=1
bn•bn+2-bn+12=（bn+1-2n）（bn+1+2n+1）-bn+12
=2n+1•bn+1-2n•bn+1-2n•2n+1
=2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12
练习册系列答案
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（2012•眉山二模）设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，我们称S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn为两组实数的乱序和，S1=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1为反序和，S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn 为顺序和．根据排序原理有：S1≤S≤S2即：反序和≤乱序和≤顺序和．给出下列命题：
①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；
②若A=
x
2
1
+
x
2
2
+…+
x
2
n
，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1，x2，…xn都是正数，则A≤B；
③设正实数a1，a2，a3的任一排列为c1，c2，c3则
a1
c1
+
a2
c2
+
a3
c3
的最小值为3；
④已知正实数x1，x2，…，xn满足x1+x2+…+xn=P，P为定值，则F=
x
2
1
x2
+
x
2
2
x3
+…+
x
2
n-1
xn
+
x
2
n
x1
的最小值为
P
2
．
其中所有正确命题的序号为
①③
①③
．（把所有正确命题的序号都填上）
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，我们称S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn为两组实数的乱序和，S1=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1为反序和，S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn 为顺序和．根据排序原理有：S1≤S≤S2即：反序和≤乱序和≤顺序和．给出下列命题：
①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；
②若A=++…+，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1，x2，…xn都是正数，则A≤B；
③设正实数a1，a2，a3的任一排列为c1，c2，c3则++的最小值为3；
④已知正实数x1，x2，…，xn满足x1+x2+…+xn=P，P为定值，则F=++…++的最小值为．
其中所有正确命题的序号为    ．（把所有正确命题的序号都填上）

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