题目内容

已知函数 $数学公式$ 是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明；
（3）若 $数学公式$ 对x∈[-1，2]恒成立，求实数k的取值范围．

解：（1）根据题意，函数 $\text{[math]}$ 是定义在R上的奇函数，
则有f（0）=0，即 $\text{[math]}$ =0，解可得a=1，
即a=1；
（2）由（1）得a=1，则f（x）= $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（1- $\text{[math]}$ ）-（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x）在R上为增函数．
（3）由（2）可得，f（x）在[-1，2]上为增函数，
则f（x）在[-1，2]上的最小值为f（-1）=- $\text{[math]}$ ，
又由 $\text{[math]}$ 对x∈[-1，2]恒成立，
则- $\text{[math]}$ ≥k²- $\text{[math]}$ k，
即3k²-4k+1≤0，解可得 $\text{[math]}$ ≤k≤1，
故实数k的取值范围是[ $\text{[math]}$ ，1]．
分析：（1）根据题意，结合奇函数的性质，可得f（0）=0，即可得 $\text{[math]}$ =0，解可得a的值；
（2）将a=1代入f（x）可得f（x）的解析式，设设x₁＜x₂，再做差变形可得f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ ，由指数函数的性质，判断可得f（x₁）-f（x₂）＜0，即可得证明；
（3）由（2）的结论可得，f（x）在[-1，2]上为增函数，分析可得，f（x）在[-1，2]上的最小值，结合题意可得- $\text{[math]}$ ≥k²- $\text{[math]}$ k，解可得答案．
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，涉及函数的恒成立问题，关键是理解运用单调性、奇偶性以及函数的最值之间的关系．