Question

12．设F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$上存在点P，使△PF₁F₂为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 由已知P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，y），可得F₁P的中点Q的坐标，求出斜率，利用${k}_{{F}_{1}P}•{k}_{{F}_{2}Q}=-1$，可得y²=2b²-$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$，由此可得结论．

解答 解：由已知P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，y），得F₁P的中点Q的坐标为（$\frac{{b}^{2}}{2c}，\frac{y}{2}$），
∴${k}_{{F}_{1}P}=\frac{cy}{{b}^{2}}，{k}_{{F}_{2}Q}=\frac{cy}{{b}^{2}-2{c}^{2}}$，
∵${k}_{{F}_{1}P}•{k}_{{F}_{2}Q}=-1$，∴y²=2b²-$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$，
∴y²=（a²-c²）（3-$\frac{1}{{e}^{2}}$）＞0，
∴3-$\frac{1}{{e}^{2}}$＞0，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜e＜1．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定F₁P的中点Q的坐标是解答该题的关键，是中档题．