Question

已知函数f(x)=a+

2

2x+1

．
（Ⅰ）当a为何值时，函数y=f（x）为奇函数；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（lgx）＞0，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（-x）+f（x）=0，可得a+

2

2-x+1

+a+

2

2x+1

=0，化简可得a的值．
（Ⅱ）由于f(x)=-1+

2

2x+1

为R上的奇函数且单调递减，由f（lgx）＞0可得f（lgx）＞f（0），故有lgx＜0，由此求得x的范围．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为R奇函数，所以对?x∈R，有f（-x）+f（x）=0，
即 a+

2

2-x+1

+a+

2

2x+1

=0，化简可得 a=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f(x)=-1+

2

2x+1

为R上的奇函数且单调递减，
所以由f（lgx）＞0可得f（lgx）＞0，
∴f（lgx）＞f（0），
∴lgx＜0，解得0＜x＜1，即x∈（0，1）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．