Question

一个三位数abc称为“凹数”，如果该三位数同时满足a＞b且b＜c，那么所有不同的三位“凹数”的个数是

285

．

Answer 1

分析：根据题意可得十位比百位小，并且十位比个位小，因此首先对十位依次进行分类讨论，然后把这些数的个数相加即可得到答案．

解答：解：按十位数字分类讨论：
①十位数字是9时不存在，此时三位“凹数”的个数为0；
②十位数字是8，只有989，此时三位“凹数”的个数为1；
③十位数字是7，则百位与个位都有2种可能，所以此时三位“凹数”的个数为2×2=4；
④十位数字是6，则百位与个位都有3种可能，所以此时三位“凹数”的个数为3×3=9；
⑤十位数字是5，则百位与个位都有4种可能，所以此时三位“凹数”的个数为4×4=16；
⑥十位数字是4时，则百位与个位都有5种可能，所以此时三位“凹数”的个数为5×5=25；
⑦十位数字是3时，则百位与个位都有6种可能，所以此时三位“凹数”的个数为6×6=36；
⑧十位数字是2时，则百位与个位都有7种可能，所以此时三位“凹数”的个数为7×7=49；
⑨十位数字是1时，则百位与个位都有8种可能，所以此时三位“凹数”的个数为8×8=64；
⑩十位数字是0时，则百位与个位都有9种可能，所以此时三位“凹数”的个数为9×9=81，
所以所有不同的三位“凹数”的个数是1+4+…+81=285个，
故答案为285．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握排列组合计数原理的有关解决原则，如特殊元素特殊位置优先考虑，而利用分类讨论的方法解决问题时要做到分类清晰并且分类要不重不漏，本题解决的关键是对十位数字进行讨论是解答的关键．